Hãy xem xét một hệ thống động lực học phi tuyến tự hành như sau
x ˙ = f ( x ( t ) ) , x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}} ,
trong đó x ( t ) ∈ D ⊆ R n {\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} nghĩa là vector trạng thái hệ thống, D {\displaystyle {\mathcal {D}}} một tập mở chứa gốc, và f : D → R n {\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} liên tục trên D {\displaystyle {\mathcal {D}}} . Giả sử f {\displaystyle f} có một điểm cân bằng tại x e {\displaystyle x_{e}} do đó f ( x e ) = 0 {\displaystyle f(x_{e})=0} thì
- Trạng thái cân bằng này được gọi là ổn định Lyapunov nếu, cho mỗi ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , tồn tại một δ > 0 {\displaystyle \delta >0} mà, nếu ‖ x ( 0 ) − x e ‖ < δ {\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta } , thì với mọi t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} ta có ‖ x ( t ) − x e ‖ < ϵ {\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon } .
- Cân bằng của hệ thống ở trên được cho là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định Lyapunov và tồn tại δ > 0 {\displaystyle \delta >0} như vậy nếu ‖ x ( 0 ) − x e ‖ < δ {\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta } , thì lim t → ∞ ‖ x ( t ) − x e ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0} .
- α > 0 , β > 0 , δ > 0 {\displaystyle \alpha >0,\beta >0,\delta >0} như vậy nếu ‖ x ( 0 ) − x e ‖ < δ {\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta } , thì ‖ x ( t ) − x e ‖ ≤ α ‖ x ( 0 ) − x e ‖ e − β t {\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}} , cho tất cả t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} .
Một cách khái niệm, ý nghĩa của các điều khoản ở trên là như sau:
- Sự ổn định Lyapunov của một trạng thái cân bằng có nghĩa rằng lời giải bắt đầu "đủ gần" để cân bằng (nằm trong một khoảng δ {\displaystyle \delta } kể từ nó) vẫn duy trì mãi mãi "đủ gần" (nằm trong một khoảng ϵ {\displaystyle \epsilon } tính tình nó). Lưu ý rằng điều này phải đúng cho bất kỳ ϵ {\displaystyle \epsilon } mà ta có thể chọn.
- Sự ổn định tiệm cận có nghĩa là các lời giải bắt đầu đủ gần không chỉ duy trì đủ gần mà cuối cùng còn hội tụ về điểm cân bằng.
- Ổn định hàm mũ có nghĩa là lời giải không chỉ hội tụ, mà trong thực tế còn hội tụ nhanh hơn hoặc ít nhất nhanh bằng một tốc độ cụ thể đã biết α ‖ x ( 0 ) − x e ‖ e − β t {\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}} .
Quỹ đạo x là (địa phương) thu hút nếu
‖ y ( t ) − x ( t ) ‖ → 0 {\displaystyle \|y(t)-x(t)\|\rightarrow 0}
(trong đó y(t) là ký hiệu của đầu ra hệ thống) từ t → ∞ {\displaystyle t\rightarrow \infty } cho tất cả các quỹ đạo mà bắt đầu đủ gần, và hấp dẫn trên toàn cục nếu thuộc tính này được giữ cho tất cả các quỹ đạo.
Đó là, nếu x thuộc về nội bộ của đa tạp ổn định của nó, nó là ổn định tiệm cận nếu nó vừa hấp dẫn và vừa ổn định. (Có những ví dụ cho thấy tính hấp dẫn không hàm ý sự ổn định tiệm cận. Những ví dụ như vậy rất dễ tạo các kết nối homoclinic.)
Nếu Jacobian của hệ thống động học ở trạng thái cân bằng sẽ xảy ra là một ma trận ổn định (ví dụ, nếu một phần thực của mỗi vectơ riêng là hoàn toàn âm), thì trạng thái cân bằng là ổn định tiệm cận.
Phương pháp thứ hai của Lyapunov cho sự ổn định
